劉雙乾教授在偏微分方程領域取得新進展

華大在線訊（通訊員 朱瀟瀟）近日，數學與統計學學院劉雙乾教授與香港城市大學楊彤教授、香港中文大學段仁軍教授合作的論文The Boltzmann equation for plane Couette flow（DOI:10.48550/arXiv.2107.02458）被知名數學期刊Journal of the European Mathematical Society接受發表，劉雙乾教授為該論文的通訊作者，這也是我校首次在此期刊接受發表論文。

兩平板間稀薄氣體的穩定態是動理學方程邊值問題研究的基本問題。基于前期劉雙乾教授和合作者關于玻爾茲曼方程剪切流穩定性的研究工作，該論文研究了兩個具有相對運動的平行管道內稀薄氣體的平面Couette flow問題。由于平板拉力的作用，沿x方向的速度將受到y方向剪切力的影響，此穩態流將由帶剪切外力和非移動擴散反射邊界條件的非線性玻爾茲曼方程刻畫。在麥克斯韋分子模型，此項研究發展了基于Caflisch分解和L^2-L^\infty理論的精細擾動方法證明了此非平衡態穩態解的存在性，其結果從數學上驗證了穩態解大速度多項式衰減的特性。此外該論文也證明了穩態解指數收斂的大時間漸近穩定性以及其非負性。

該項工作提供了帶物理邊界有限管道上玻爾茲曼方程Couette flow穩定性的真正嚴格數學意義上的證明。在流體力學層面Couette flow的穩定性可以追溯到1883年雷諾的著名實驗，長期以來受到國內外眾多著名數學家關注，但是介觀層面的玻爾茲曼方程對此類問題的研究還處在起步階段。該項研究結果對論證Navier-Stokes方程組的剪切流與玻爾茲曼方程剪切流之間的聯絡邁出了重要一步，對玻爾茲曼方程剪切流穩定性問題的研究產生積極影響。

該項工作發展的基于Caflisch分解和L^2-L^\infty理論的精細擾動方法有望應用到證明玻爾茲曼方程的朗道阻尼、增強耗散等效應，并且為進一步從剪切流的角度去證實希爾伯特第六問題提供了新思路。

該項研究得到了國家自然科學基金、華中師范大學人才計劃等項目的支持。

（審讀人：郭玉勁）