劉雙乾教授在偏微分方程領(lǐng)域取得新進(jìn)展

華大在線訊（通訊員 朱瀟瀟）近日，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院劉雙乾教授與香港城市大學(xué)楊彤教授、香港中文大學(xué)段仁軍教授合作的論文The Boltzmann equation for plane Couette flow（DOI:10.48550/arXiv.2107.02458）被知名數(shù)學(xué)期刊Journal of the European Mathematical Society接受發(fā)表，劉雙乾教授為該論文的通訊作者，這也是我校首次在此期刊接受發(fā)表論文。

兩平板間稀薄氣體的穩(wěn)定態(tài)是動(dòng)理學(xué)方程邊值問題研究的基本問題。基于前期劉雙乾教授和合作者關(guān)于玻爾茲曼方程剪切流穩(wěn)定性的研究工作，該論文研究了兩個(gè)具有相對運(yùn)動(dòng)的平行管道內(nèi)稀薄氣體的平面Couette flow問題。由于平板拉力的作用，沿x方向的速度將受到y(tǒng)方向剪切力的影響，此穩(wěn)態(tài)流將由帶剪切外力和非移動(dòng)擴(kuò)散反射邊界條件的非線性玻爾茲曼方程刻畫。在麥克斯韋分子模型，此項(xiàng)研究發(fā)展了基于Caflisch分解和L^2-L^\infty理論的精細(xì)擾動(dòng)方法證明了此非平衡態(tài)穩(wěn)態(tài)解的存在性，其結(jié)果從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證了穩(wěn)態(tài)解大速度多項(xiàng)式衰減的特性。此外該論文也證明了穩(wěn)態(tài)解指數(shù)收斂的大時(shí)間漸近穩(wěn)定性以及其非負(fù)性。

該項(xiàng)工作提供了帶物理邊界有限管道上玻爾茲曼方程Couette flow穩(wěn)定性的真正嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的證明。在流體力學(xué)層面Couette flow的穩(wěn)定性可以追溯到1883年雷諾的著名實(shí)驗(yàn)，長期以來受到國內(nèi)外眾多著名數(shù)學(xué)家關(guān)注，但是介觀層面的玻爾茲曼方程對此類問題的研究還處在起步階段。該項(xiàng)研究結(jié)果對論證Navier-Stokes方程組的剪切流與玻爾茲曼方程剪切流之間的聯(lián)絡(luò)邁出了重要一步，對玻爾茲曼方程剪切流穩(wěn)定性問題的研究產(chǎn)生積極影響。

該項(xiàng)工作發(fā)展的基于Caflisch分解和L^2-L^\infty理論的精細(xì)擾動(dòng)方法有望應(yīng)用到證明玻爾茲曼方程的朗道阻尼、增強(qiáng)耗散等效應(yīng)，并且為進(jìn)一步從剪切流的角度去證實(shí)希爾伯特第六問題提供了新思路。

該項(xiàng)研究得到了國家自然科學(xué)基金、華中師范大學(xué)人才計(jì)劃等項(xiàng)目的支持。

（審讀人：郭玉勁）